1. VALORES FUTURO E PRESENTE DE ANUIDADES

O fluxo de caixa em operações financeiras é muito importante. Em alguns exemplos tomados anteriormente o fluxo de caixa foi simples, pois foram somente uma entra e uma saída de capital, a única coisa que mudou foi o tempo de aplicação (diário, semanal, mensal, etc.). O que queremos investigar agora é quando o fluxo de caixa possui mais de uma aplicação ou recebimento com certa periodicidade, tais como, pagamento de juros e prestações, interpretar e compreender estes resultados e como eles podem nos ajudar no dia a dia.

1.1. VALOR FUTURO – CAPITALIZAÇÃO DE UMA ANUIDADE

Uma anuidade, diferentemente do que o nome pode sugerir, não é exatamente um valor capitalizado uma vez ao ano. Imagine a situação onde você todo mês faz um depósito em uma caderneta de poupança. Diferentemente do valor futuro apresentado anteriormente, ao invés de um pagamento único capitalizado por um período de tempo, agora, temos vários depósitos onde cada um é capitalizado conforme os depósitos vão ocorrendo.

100 100 100 100 100 100

0 1 2 3 4 5 6 VF=615,20

Figura 1

Observe a seguinte tabela:

N	Início Período	Juro	Parcela	Final Período
1	0,00	0,00	100,00	100,00
2	100,00	1,00	100,00	201,00
3	201,00	2,01	100,00	303,01
4	303,01	3,03	100,00	406,04
5	406,04	4,06	100,00	510,10
6	510,10	5,10	100,00	615,20

No período 1, você deposita R$100. No inicio do período 2, os R$100 recebem 1% de juros e você deposita mais R$100 (R$100*1,01 + R$100 = R$201). No inicio do período 3, você recebe 1% de juros sobre R$201 e deposita mais R$100 (R$201*1,01 + R$100 = R$303,01). O processo se repete até o período 6 onde terminamos com um valor capitalizado de R$615,20. Verifique que a última parcela não teve o acréscimo de juros (Figura 1), esse caso é chamado de termos vencidos onde a primeira parcela não é aplicada “hoje” (momento 0).

Este processo pode ser resumido utilizando a função VF: =VF(Taxa;NPER;PGTO)

=VF(1%;6;-100) Resultando 615,20

Observe que desta vez utilizamos o argumento PGTO ao invés do argumento VP. Isto ocorre porque desta vez estamos observando uma série de pagamentos e não um único pagamento inicial.

Se o primeiro depósito fosse feito hoje, isto é no momento zero, o fluxo seria conforme figura abaixo.

100 100 100 100 100 100

0 1 2 3 4 5 6 VF=621,35

Figura 2

Observe a tabela

N	Início Período	Parcela	Total	Juro	Final Período
0	0,00	100,00	100,00	1,00	101,00
1	101,00	100,00	201,00	2,01	203,01
2	203,01	100,00	303,01	3,03	306,04
3	306,04	100,00	406,04	4,06	410,10
4	410,10	100,00	510,10	5,10	515,20
5	515,20	100,00	615,20	6,15	621,35

Desta forma, R$100 recebe 1% de juros e no mês seguinte é somado ao novo depósito de R$100. Ao resultado desta soma adicionamos 1% de juros (R$101+R$100)*1,01. O processo continua até o final.

Quando a primeira parcela é paga a vista chamamos de termos antecipados.

Na planilha, utilizamos o último argumento da função VF para solucionar tal questão:

=VF(taxa;NPER;PGTO;0;1)

Neste caso, o ultimo argumento é 1. Quando o argumento é deixado em branco ele é definido como zero. Se o argumento não for definido (em branco) ou for zero, então, a capitalização ocorre no final do período do depósito.

Exemplos

1. Você decide fazer um depósito mensal pelos próximos 20 anos no montante de R$100. Se a taxa efetiva mensal é de 0,8% e será constante por 20 anos, quanto você terá resgatado no final de 240 meses?

2. Você resolve fazer uma poupança para seu filho que acabara de nascer. Supondo que o resgate ocorrerá no 18^o aniversário dele, se os depósitos são mensais de R$200, quanto a poupança terá acumulado se a taxa é fixa e esta cotada em 0,5% ao mês?

3. Você resgata R$50.000 após 48 meses de investimento. Sabendo que a taxa aplicada foi de 1% ao mês, quanto você investiu mensalmente neste fundo?

Este problema envolve uma questão ligeiramente diferente do que foi discutido. Desta vez, você tem o valor futuro da anuidade e deseja saber o valor dos depósitos. O valor de cada depósito é o pagamento que você fez para o fundo de investimento. Para resolver o problema usamos a função PGTO:

1.2. VALOR PRESENTE – DESCONTO DE UMA ANUIDADE

O valor presente de uma anuidade é exatamente o inverso do exercício anterior. Supondo que você queira retirar R$500,00 mensalmente por quatro anos. Qual o valor que deve ser depositado hoje em uma Instituição financeira que paga juros de 1% ao mês para usufruir destas retiradas:

Este é um conceito muito importante da área financeira, principalmente para planejamento. Se você tem uma série fixa de pagamentos para efetuar em um período X, você pode facilmente calcular quanto é necessário, hoje, para assegurar todos os pagamentos tendo em vista uma taxa i de juros.

O exemplo acima é resolvido na planilha utilizando a função VP: VP(taxa;NPER;PGTO;VF;tipo)

=VP(1%;48;-500;0;0) Resultando R$ 18.986,98

Assim como no caso do Valor Futuro, o Valor Presente pode ser retirado logo de início. Neste caso, precisamos passar o último argumento da função para 1:

=VP(1%;48;-500;0;1)

Desta vez o valor inicial do investimento é de R$ 19.176,85.

Exemplos

1. Você deseja se aposentar, hoje, e efetuar retiradas mensais de R$2.000 por 20 anos. Quanto você necessitaria ter hoje, se a taxa de juros sobre tal fundo é de 0,5% ao mês?

2. Se o valor presente de uma anuidade é R$100.000; qual a retirada mensal máxima que você poderá fazer por 15 anos sabendo que a taxa aplicada é de 0,85% ao mês?

Coloque esta pergunta no contexto da pergunta do tópico anterior e temos uma situação inversa. Portanto, utilizaremos à função PGTO, mas para valor presente ao invés de valor futuro:

Observe que este resultado é o cálculo de um empréstimo ou prestação. Porém, geralmente nós recebemos o VP e pagamos o PGTO. Aqui, nós depositamos o montante principal VP e o fundo nos paga cada PGTO durante a vida da anuidade.

Usando o mesmo raciocino dos problemas anteriores, podemos calcular a TAXA.

3. Tenho disponível hoje uma quantia de R$200.000,00. Pretendo fazer retiradas mensais de R$1.500,00 por 20 anos qual a taxa mínima que devo aplicar meu dinheiro para garantir essas retiradas?

Esse é um problema que envolve a função taxa, na planilha temos: TAXA(NPER;PGTO;VP;VF;Tipo;Estimativa)

Em problemas que envolvem taxa, devemos ficar atento ao fluxo de caixa, pois se o VP for positivo (entrada de caixa) as retiradas PGTO devem ser negativas (saída de caixa). A estimativa só deve ser colocada se a planilha não convergir para a taxa esperada.

4. Uma loja de Eletrodomésticos anuncia a venda de uma TV no valor de R$3.500,00 a vista ou em 24 (1+23) parcelas iguais a R$229,99. Qual a taxa cobrada pela Loja?

Como a primeira parcela é paga a viste, temos um problema de termos antecipados, basta colocar 1 no final.

TAXA(24;-229,99;3500;0;1)