SÉRIE
UNIFORME DE PAGAMENTOS
Pode-se definir uma série uniforme
de pagamentos como uma sucessão de recebimentos, desembolsos ou prestações, de
mesmo valor, representados por R, divididos regularmente num período de
tempo. O somatório do valor acumulado de vários pagamentos, montante, é
calculado pela expressão mostrada abaixo e representado no fluxo de caixa da
figura 1. Este somatório é deduzido a partir da equação da capitalização
composta VF=VP(1+i)n para o cálculo do montante de cada pagamento R.
Trata-se, portanto, do cálculo da soma dos termos de uma progressão geométrica
limitada, de razão q = 1 + i.
FV
R R R R R
0
1 2 3 (n-1) n
Figura 1
Perceba
que a última parcela coincide com o valor futuro (montante) e que a primeira
parcela é paga no momento 1. O momento zero corresponde a hoje. Esse tipo de
série é chamado de série de termos vencidos, onde a primeira parcela não é
efetuada hoje.
Situação Problema
Uma pessoa deposita mensalmente R$
500,00 numa conta especial particular. Qual será o saldo daqui a 2 anos, para
uma remuneração de 0,8 % a.m. concedida pelo banco?
Solução:
R
= 500 (valor da parcela mensal)
i
= 0,8% (taxa de juro mensal) para fins de cálculo 0,008
n
= 2 anos o que corresponde a 24 parcelas mensais
Utilizando
a expressão (1):
VF
= 500.[(1+ 0,008)24-1] / 0,008 = 13.171,58
Procedendo-se o cálculo do inverso
da expressão (1), pode-se obter o valor da parcela ou prestação R, a
partir do montante conhecido, através da seguinte expressão:
Situação Problema
Determine o valor que deve ser
depositado trimestralmente numa conta a prazo fixo, que oferece juros de 3,5%
a.t., para acumularmos R$ 25.000,00 em 5 anos.
Solução:
n
= 20, pois em 5 anos existem 20 trimestres
VF
= 25.000 (valor futuro)
i
= 3,5% ao mês o que corresponde a 0,035 para fins de cálculo
Utilizando
a expressão (2), temos:
R
= 25.000.{0,035 / [(1+0,035)20 -1]} = 884,03
Ainda dentro do contexto de uma
série uniforme de pagamento, deseja-se determinar o valor capaz de liquidar
antecipadamente, e de uma só vez, um empréstimo ou financiamento, assumido de
forma a ser pago em prestações uniformes e periódicas.
Assim sendo, deve-se calcular a
expressão do valor presente desta série uniforme. Sabemos que o valor presente
de uma capitalização composta pode ser calculado pela equação 
, substituindo o VF da expressão (1) na equação anterior
determinamos o valor presente de uma série de termos uniformes como sendo:
VP R R R R R
0
1 2 3
(n-1)
n
Figura 2 - Diagrama do valor presente de uma série uniforme
Situação problema
Determine o valor à vista de um
eletrodoméstico vendido em 6 prestações mensais de R$ 200,00, sabendo-se que os
juros cobrados pelo lojistas são de 5 % a.m.
Solução:
n = 6 (número de parcelas mensais)
R = 200 (valor de cada parcela
mensal)
i = 5% (taxa mensal) igual 0,05 para
fins de cálculo.
VP
= 200 . { [(1+ 0,05)6 -1] / [0,06.(1+ 0,05)6] } =
1.015,14
Para a determinação do valor de cada
uma das prestações R quando o valor do principal (financiamento) é
conhecido, calcula-se o inverso da expressão (3), pois existe reciprocidade.
Assim,
o valor de R é obtido pela seguinte expressão:
Situação Problema:
Uma pessoa adquire um freezer por
R$ 800,00, dando de entrada R$ 300,00. Determine a prestação mensal para um
financiamento do restante em 4 vezes, à taxa de 5% a.m.
Solução:
Valor
a ser financiado: VP = 800 - 300 = 500;
Taxa
i = 5% ao mês, o que corresponde a 0,05
n
= 4 parcelas mensais
Usando
expressão (4) temos:
R
= 500.{[0,05.(1+ 0,05)4]/[(1+ 0,05)4-1]}=141
SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS ANTECIPADOS
Nas séries com termos antecipados, os pagamentos ou
recebimentos ocorrem no início de cada período unitário. Assim a primeira
prestação é sempre paga ou recebida no momento “zero”, ou seja, na data do
contrato do empréstimo ou financiamento, ou qualquer outra operação que
implique em uma série de pagamentos, ou recebimentos.
Acumulação de Capital
Situação
problema:
Qual
o montante daqui a 8 meses resultante da aplicação de 8 parcelas mensais de
R$100,00, a taxa de 1,5% ao mês, sabendo-se que a primeira aplicação é feita
hoje.
Esquematicamente temos:
100 100 100 100 100 100 100 100 VF (montante)
0 1 2
3 4 5
6 7 8
Dados:
VF = ?
n = 12
i = 1,5% mês
R = 100 por
mês
Solução:
Se usarmos a equação 
o valor de montante será encontrado no momento da última aplicação, nesse
caso, no momento “7”. Como desejamos o montante no momento “8” teremos que
capitalizar um período a mais, ou seja, 
assim teremos o montante no final do oitavo mês.
Conclusão:
Para calcular o Montante de uma
série de pagamentos ou recebimentos com termos antecipados, devemos utilizar a expressão:
Valor atual
Situação
problema:
Um
eletrodoméstico foi financiada em 6 parcelas mensais iguais e consecutivas de
R$100,00, sabendo-se que a taxa de juro cobrada pela Loja é de 5% ao mês e que
a primeira prestação foi paga no ato da compra, qual foi o valor financiado?
Esquematicamente temos:
VP (valor financiado)
0
1 2 3
4 5 Meses
100 100 100 100 100 100
(note que a
primeira parcela está sendo paga a vista)
6 parcelas mensais
Dados:
VP = ?
n = 6
i = 5% mês
R = 100 por
mês
Solução:
Aproveitando
o que já sabemos, temos que 
, como desejamos saber o valor de VP pela
fórmula da capitalização composta VF=P(1+i)n => 
temos que;
=> 
Donde:
Conclusão:
Para calcular o Valor Presente de
uma série de pagamentos ou recebimentos com termos antecipados, devemos
utilizar a expressão: 
Perpetuidade
A perpetuidade é um conjunto de
valores periódicos, consecutivos e iguais, que ocorre indefinidamente.
Trata-se, portanto, de uma série uniforme permanente, tal como uma pensão mensal
vitalícia, um dividendo anual etc.
O valor presente de uma perpetuidade
VP,
deduzido a partir do cálculo do limite da expressão (3), com n tendendo
ao infinito, pode ser encontrado pela fórmula.
(5)
Situação problema
Determine o valor teórico de um
apartamento que rende mensalmente R$ 1.000, considerando-se a taxa de juros de
mercado de 1,0 % a.m.
Como o aluguel mensal de um
apartamento pode ser considerado uma perpetuidade, pela fórmula (5) chega-se ao
seu valor teórico:
VP=
1.000 / 0,01 = 100.000