Equivalência de Taxas – Juro Composto

Duas taxas de juros são equivalentes se:

• aplicadas ao mesmo capital;

• pelo mesmo intervalo de tempo.

Ambas produzem o mesmo juro ou montante.

No regime de juros composto, as taxas de juros não são proporcionais, ou seja, uma taxa de 12% ao ano é não é equivalente a 1% ao mês.

Partido do principio acima, se tomarmos um capital inicial VP e aplicarmos a juro composto no período de um ano teremos VF = VP(1+ i_a) aplicando o mesmo capital inicial no mesmo período mas capitalizado mensalmente temos VF = VP(1+ i_m)¹²

Para que as taxas sejam equivalentes os montantes terão que ser iguais, assim:

VP(1 + i_a) = VP(1 + i_m)¹²

Da igualdade acima, deduz-se que:

(1+i_a) = (1+ i_m)¹²

Para determinar a taxa anual, conhecida a taxa mensal.

i_a = (1+ i_m)¹² -1

Para determinar a taxa mensal, quando se conhece a anual.

Da mesma forma, dada uma taxa mensal ou anual, determina-se à taxa diária e vice-versa.

Exemplos:

1) Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês:

i_a = (1 + i_m)¹² – 1 = (1,02)¹² - 1 = 1,2682 - 1 = 0,2682 ou 26,82%

2) Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano:

i_m = (1 + i_a)^1/12 –1 = (1,60103)^1/2 –1 = 1,04 - 1 ou 4% ao mês

3) Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia:

i_a = (1 + i_d)³⁶⁰ - 1 = (1,0019442)³⁶⁰ - 1 = 2,0122 – 1 = 1,0122 ou 101,22% ao ano

4) Determinar a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos:

i_t = (1 + i_2a)^1/8 - 1 = (1,47746 )^1/8 - 1 = 1,05 - 1 = 0,05 = 5% ao trimestre

5) Determinar a taxa anual equivalente a 1% á quinzena:

i_a = (1 + i_q)²⁴ - 1 = (1,01)²⁴ - 1 = 1,2697 - 1 = 0,2697 = 26,97% ao ano

Como no dia-a-dia os períodos a que se referem às taxas que se tem e taxas que se quer são os mais variados, vamos apresentar uma fórmula genérica, que possa ser utilizada para qualquer caso, ou seja:

Para efeito de memorização denominamos as variáveis como segue:

i_q = taxa para o prazo que eu quero

i_t = taxa para o prazo que eu tenho

q = prazo que eu quero

t = prazo que eu tenho

Vejamos alguns exemplos:

6) Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano:

i₁₈₃ = (1 + 0,65)^183/360 – 1 = 28,99%

7) Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao mês:

i₄₉₁ = (1 + 0,05)^491/30 – 1 = 122,23%

8) Determinar a taxa para 27 dias, equivalente a 13% ao trimestre:

i₂₇ = (1 + 0,13)^27/90 – 1 = 3,73%