DESCONTO

CONCEITO

A chamada operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o valor futuro de um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e se quer determinar o seu valor atual. O desconto deve ser entendido como a diferença entre o valor de resgate de um título e o seu valor presente na data da operação, ou seja: D = VF - VP, em que D representa o valor monetário do desconto, VF o seu valor futuro (valor assumido pelo título na data do seu vencimento) e VP o valor creditado ou pago ao seu titular. Assim como no caso dos juros, o valor do desconto também está associado a uma taxa e a determinado período de tempo.

Embora seja freqüente a confusão entre juros e descontos, trata-se de dois critérios distintos, claramente caracterizados. Assim, enquanto no cálculo dos juros a taxa referente ao período da operação incide sobre o capital inicial ou valor presente, no desconto à taxa do período incide sobre o seu montante ou valor futuro.

De maneira análoga aos juros, os descontos são também classificados em simples e composto, envolvendo cálculos lineares no caso do desconto simples e exponencial no caso do desconto composto.

O desconto é dividido em:

a) Desconto Racional (por dentro).

b) Desconto Comercial (por fora).

a) DESCONTO RACIONAL (por dentro).

Desconto racional simples é aquele aplicado no valor atual do título n períodos antes do vencimento, ou seja, é o mesmo que juro simples. Não será dada muita importância a menos de comparação, pois raramente tem sido aplicado no Brasil.

Dr = VF – VP

Onde Dr = Desconto Racional

Como VP = VF /(1+i.n)

Temos:

b) DESCONTO COMERCIAL OU BANCÁRIO (por fora)

Desconto comercial simples é aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o montante ou valor futuro. É utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizado, principalmente nas chamadas operações de “desconto de duplicatas” realizadas pelos bancos, sendo, por essa razão, também conhecido por desconto bancário ou comercial. É obtido multiplicando-se o valor de resgate do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja:

D = VF.d.n

Onde d representa a taxa de desconto e n o prazo. E para se obter o valor presente, também chamado de valor descontado, basta subtrair o valor do desconto do valor futuro do título, como segue:

VP = FV – D

Daí vem que: VP = VF – VF.d.n => VP = VF.(1. –.d.n)

SITUAÇÃO PROBLEMA:

1. Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 2.000,00, com vencimento para 90 dias, á taxa de 2,5% ao mês?

Dados:

VF = 2.000,00

n = 90 dias = 3 meses (como a taxa está em mês, devemos transformar o período para essa unidade)

d = 2,5% ao mês

D=?

Solução:

D = VF . d . n => D = 2.000,00 . 0,025 . 3 = 150,00

2. Qual a taxa mensal de desconto comercial utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00?

Dados:

VF = 1.000,00

VP = 880,00

n = 120 dias = 4 meses

d=?

Solução:

D = VF – VP = 1.000,00 – 880,00 = 120,00

Isolando a taxa d na fórmula do desconto temos:

d = D / (VF . n) => d = 0,03 ou seja, d = 3% ao mês

3. Uma duplicata no valor de R$ 6.800,00 é descontada por fora, por um banco, gerando um crédito de R$ 6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 3,2% ao mês, determinar o prazo de vencimento da duplicata.

Dados:

VF = 6.800,00

VP = 6.000,00

d = 3,2% ao mês

n =?

Solução:

D = VF – VP

D = 6.800,00 – 6.000,00 = 800,00

Isolando o prazo n na equação D = VF. d. n, temos n = D/(VF.d) substituindo os valores resulta que:

n = 3,676 meses, ou seja 110 dias

4. Calcular o valor líquido creditado na conta de um cliente, correspondente ao desconto por fora de uma duplicata no valor R$ 34.000,00, com prazo de 41 dias, sabendo-se que o Banco está cobrando nessa operação uma taxa de desconto de 4,7% ao mês.

Dados:

VF = 34.000,00

d = 4,7% ao mês

n = 41 dia

Solução:

Como nesse problema a taxa e o prazo não estão na mesma unidade de tempo (a taxa é mensal e o prazo está expresso em número de dias), basta, para compatibilizá-los, dividir um dos dois por 30, como segue:

D = VF.d.n

D= 34000 . 0,047 . 41/30

D = 2.183,93

Como VP = VF – D, tem-se:

VP = 34.000,00 – 2.183,93 = 31.816,07

5. O desconto de uma duplicata gerou um crédito de R$ 70.190,00 na conta de uma empresa. Sabendo-se que esse título tem um prazo a decorrer de 37 dias até o seu vencimento e que o Banco cobra uma taxa de desconto de 5,2% ao mês nessa operação, calcular o valor da duplicata.

Dados:

VP = 7.608,00

d = 5,2% ao mês

n = 138 dias = 138/30 meses

VF=?

Solução: D = VF . d . n

Como nessa equação não ternos valores definidos para duas variáveis, D e VF, é impossível obter-se a solução desse problema somente através dela. Entretanto, como sabemos que D=VF-VP, a substituição desta naquela equação nos permite obter o valor da duplicata, como segue:

VF – VP = S.d.n => VP = VF – VF.d.n => VP = VF (1 - d.n) => VF = VP/(1 - d.n)

Assim, temos: VF = 10.000,00

6. No caso do exemplo anterior, calcular a taxa mensal de juros correspondente àquela operação, de acordo com o critério de juros compostos.

Dados:

P = 7.608,00

S = 10.000,00

n = 138 dias

i= ?

A solução pode ser obtida a partir da fórmula do JURO COMPOSTO VF= VP (1+i)ⁿ. Como a taxa informada é mensal e o prazo é dado em número de dias, basta dividir este por 30 para expressá-lo em número de meses e assim compatibilizar as duas variáveis. Substituindo na equação do montante, ternos:

VF= VP (1 + i)ⁿ

10.000 = 7.608 (1 + i)^(138/30)

(1 + i)^(138/30) = 1,06853

1 + i = (1,06853 )^(30/138)

i = 1,06123 - 1 = 0,06123 ou 6,123% ao mês

TAXA IMPLÍCITA

Quando o desconto (taxa) é aplicado sob o valor futuro, para com isto obter o valor atual, a uma determinada taxa é X, porém com o valor atual é a taxa X não se obtém o valor futuro inicial. Com isto observamos que existe uma taxa implícita na operação que é maior que a taxa de desconto.

i = y% a período (taxa de juro)

d = x% a período (taxa de desconto)

Devemos aplicar uma taxa y ao valor do título com desconto e chegar ao valor do título, usando capitalização simples.

VF=VP.(1+i.n) (a)

Temos ainda que o valor do título com desconto é dado por VP=VF (1 – d.n) (b)

Isolando VF em (b) e substituindo em (a) temos: VP/(1 – d.n) = VP(1 + i.n)

Resultando: i = d/(1 – d.n)

Onde:

i = taxa efetiva;

d = taxa de desconto;

n = número de períodos.

Situação Problema:

7. Um título que possui uma taxa de desconto de 4% ao mês durante 6 meses. Qual é a taxa real de juro simples?

Dados:

d = 4% a.m.;

n=6 meses

Usando a fórmula acima temos:

i = 0,04 / (1 - 0,04 . 6)

i = 5,263% ao mês.

CÁLCULO DO VALOR DO DESCONTO SIMPLES PARA SÉRIES DE TÍTULOS DE MESMO VALOR

Vamos admitir que sejam apresentados a um banco 5 títulos, no valor de R$ 1.000,00 cada um, com vencimentos de 30 a 150 dias (de 1 a 5 meses) respectivamente, para serem descontados. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3% ao mês, calcular o valor do desconto global e o valor líquido correspondente a ser creditado na conta do cliente. As novas variáveis serão representadas pelos seguintes símbolos:

Dt = valor do desconto total = D₁ + D₂ + ... + D_n

N = número de títulos (ou prestações)

S = Valor de cada título

Pt= valor líquido total dos títulos = N x S - Dt

a) Obtenção do desconto global, a partir do cálculo individual, para cada título:

Sendo D = S.d.n, tem - se que:

D₁ = 1.000,00 x 0,03 x 1 = 30,00

D₂ = 1.000,00 x 0,03 x 2 = 60,00

D₃ = 1.000,00 x 0,03 x 3 = 90,00

D₄ = 1.000,00 x 0,03 x 4 = 120,00

D₅ = 1.000,00 x 0,03 x 5 = 150,00

Logo: Dt = 30,00 + 60,00 + 90,00 + 120,00 + 150,00 = 450,00

b) Dedução de uma fórmula que possibilita obter o desconto total de forma simplificada.

Com base no desenvolvimento feito no item anterior, podemos escrever:

Dt = D₁ + D₂ + D₃ + D₄ + D₅

Dt =1.000 x 0,03 x 1 + 1.000 x 0,03 x 2 + 1.000 x 0,03 x 3 + 1.000 x 0,03 x 4 + 1.000 x 0,03 x 5

Dt= (1.000, x 0,03) x (1+ 2 + 3 + 4 + 5)

Aplicando-se a fórmula que dá a soma dos termos de uma progressão aritmética (PA):

SPA = (t₁ + t_n)N / 2

em que t₁ representa o prazo do título que vence primeiro, t_n o prazo do título que vence por último e N o número de títulos, ternos:

Dt = (1.000 . 0,03) . (1+5).5 / 2 (1)

Dt= 1.000,00 . 0,03 . 15 = 450,00.

O valor líquido creditado na conta do cliente seria:

Pt = S . N – Dt

Pt = 1.000,00 . 5 - 450,00 = 4.550,00

Substituindo na expressão (1) cada número pelo seu símbolo correspondente, ternos:

Dt = S . d . (t₁ + t_n) N / 2 ou Dt = S . N . d . (1 + t_n)/2

em que a expressão (t₁ + t_n)/2 representa o prazo médio dos títulos descontados.

Essa fórmula somente é válida para desconto de séries de títulos ou de prestações com valores iguais, de vencimentos sucessivos e de periodicidade constante a partir do primeiro vencimento. Quando os vencimentos ocorrem no final dos períodos unitários, a partir do primeiro, a fórmula para determinar o desconto total de uma série de títulos pode ser escrita como segue:

Dt = S.N.d.(1 + t_n)/2

em que t_n, que representa o prazo expresso em número de períodos unitários (mês, bimestre, ano etc.) referente ao título que vence por último, será sempre igual ao número de títulos N.

É importante lembrar que o período unitário da taxa deve estar sempre coerente com o período unitário do prazo, isto é, se na fórmula de cálculo os prazos forem representados em meses, trimestres ou anos, a taxa de desconto também deve ser representada em termos de taxa mensal, trimestral ou anual, respectivamente.

Exemplos:

1. Calcular o valor líquido correspondente ao desconto bancário de 12 títulos, no valor de R$ 1.680,00 cada um, vencíveis de 30 a 360 dias, respectivamente, sendo a taxa de desconto cobrada pelo banco de 2,5% ao mês.

Dados:

S = 1.680,00

N = t_n = 12

d = 2,5%

Pt = ?

Solução:

Dt = S.N.d.(1 + t_n) / 2

Dt = 3.276,00

Pt = S . N - Dt = 20.160,00 - 3.276,00 = 16.884,00

2. Quatro duplicatas, no valor de R$ 32.500,00 cada uma, com vencimentos para 90, 120, 150 e 180 dias, são apresentadas para desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3,45% ao mês, calcular o valor do desconto.

Dados:

S = 32.500,00

N = 4

d = 3,45% ao mês

t₁ = 90 dias = 3 meses

t_n = 180 dias = 6 meses

DT = ?

Solução:

DT = S.N.d.(t₁ + t₂) /2

DT = 20.182,50

RELAÇÃO ENTRE TAXA DE DESCONTO NO PERÍODO E JURO COMPOSTO.

Se um produto é vendido a R$ 100,00 para 63 dias, qual o desconto que o fornecedor pode conceder na venda a vista, se ele pratica uma taxa de juros composto de 5,0% a.m.?

Podemos calcular a taxa de desconto igualando as equações VP=VF/(1+i)ⁿ da capitalização composta e VP=VF(1 - d.n) do desconto comercial, chegando a:

(1)

como n = 63/30 =2,1 meses

Chegamos que:

d = 0,04637 ~ 4,637% a.m. (taxa de desconto)

Como o comprador, ao receber a oferta de desconto de 4,637% ao mês na compra a vista poderá calcular a taxa mensal de juro composto praticada pelo fornecedor, no caso acima?

Da mesma maneira acima, poderemos chegar à equação para calcular a taxa de juro:

(2)

donde chegamos que i = 0,05 ou 5%

DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO

Se a um produto no valor de R$ 100,00 forem concedidos dois descontos de 20%, o líquido será de R$ 64,00. De fato, com o primeiro desconto de 20% o valor liquido será de R$ 80,00, e com o segundo desconto de 20%, agora sobre R$ 80,00, o valor líquido passa a ser de R$ 64,00. A equação do valor líquido no caso do desconto composto poderá ser deduzida a partir do desconto simples.

Chega-se a equação VP = VF(1 - d)ⁿ (3)

onde VP é o valor atual, VF é o valor nominal do título, d é a taxa de desconto e n prazo a decorrer até o vencimento.

Na prática, porém, dificilmente será constatada a aplicação do desconto composto tal como aqui colocado. No entanto, se um fornecedor tivesse cobrado 25% a.m. de juros na venda a 30 dias, na venda a vista poderia conceder 20% de desconto. Essa relação entre taxa de juros e taxa de desconto já foi descrita anteriormente.

Além disso, se esse mesmo fornecedor vendesse a 60 dias, certamente cobraria um acréscimo de 56,25% a.p. de juros. Se fizermos a equivalência de taxa obteremos a taxa de desconto de 36% a.p., que é exatamente o desconto composto aplicado na apuração do valor líquido de R$ 64,00 que resulta o exemplo acima.

Notemos também, que se aplicarmos a eq. (1) com as informações acima, obteremos:

d = 0,36 ou 36% a.p.

Portanto o uso do desconto composto é comum na prática comercial brasileira, porém compõe-se a taxa de desconto para o período antes de informá-la. Como no exemplo aqui demonstrado, concede-se 36% ao bimestre em vez de dois descontos sucessivos de 20% a.m.