CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
CAPITALIZAÇÁO
COMPOSTA: MONTANTE E VALOR ATUAL PARA PAGAMENTO ÚNICO
Capitalização composta é aquela em
que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros
acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia
exponencialmente em função do tempo.
O conceito de montante é o mesmo
definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou
devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da
dívida.
A simbologia usada será VF
para valor futuro ou montante, VP para valor presente ou
capital inicial, n para o prazo ou período de
capitalização e i para a taxa.
A dedução da equação para
calcular o montante para um único pagamento é pouco mais complexa que a
capitalização simples. Para facilitar o entendimento, vamos admitir o seguinte
problema:
Calcular o montante de um capital de
$ 1.000,00, aplicado á taxa de 4% ao mês, durante 5 meses.
Dados:
VP =
1.000,00
n = 5
meses
i = 4% ao
mês = 0,04
VF = ?
mês(t) |
capital no
início do mês (VPt) |
juros correspondentes ao mês (jt) |
montante no
final do mês (VFt) |
|
1 |
1.000,00 |
1.000,00 x
0,04 = 40,00 |
1.040,00 |
|
2 |
1.040,00 |
1.040,00 x
0,04 = 41,60 |
1.081,60 |
|
3 |
1.081,60 |
1.081,60 x
0,04 = 43,26 |
1.124,86 |
|
4 |
1.124,86 |
1.124,86 x
0,04 = 45,00 |
1.169,86 |
|
5 |
1.169,86 |
1.169,86 x
0,04 = 46,79 |
1.216,65 |
Logo o montante será de
R$ 1.216,65
Algebricamente podemos
deduzir que:
VF0
= VP =>montante no momento zero (hoje).
Temos que Montante é Capital mais
juros => VF = VP + VP.i, então:
VF1
= VP + VP x i = VP(1+i) => montante no final do primeiro período;
VF2
= VP(1+i) + VP(1+i) x i = VP(1+i)(1+i) = VP(1 + i)2
VF3
= VP(1 + i)2+ VP(1 + i)2 x i = VP(1 + i)2
(1+i) = VP(1 + i)3
VF4
= VP(1 + i)3 + VP(1 +
i)3 x i= VP(1 + i)3 (1+i) = VP(1 + i)4
.
.
VFn
= VP(1 + i)n + VP(1 + i)nx i = VP(1 + i)n(1+i)
= VP(1 + i)n
Para simplificar vamos fazer VFn = VF. Assim, a
fórmula final do montante é dada pela equação:
VF = VP(1+i)n
No exercício anterior podemos fazer:
VF = 1.000 (1+0,04
)5 = 1.216,65, que confere com o valor determinado anteriormente.
Situação Problema:
1.
Calcular o montante de uma aplicação de $ 15.000,00, pelo
prazo de 6 meses, á taxa de 3% ao mês.
Dados:
VP =
15.000,00
n = 6 meses
i = 3% ao mês =0,03
VF=?
Solução:
VF = P(1+i)n
VF =15000(1+0,03)6
= $
17.910,78
Cálculo do Juro
Para calcular somente o
juro, temos que J = VF – VP => J = VP(1+i)n – VP resultando:
Situação Problema
2.
Qual o juro pago no caso do empréstimo de $ 1.000,00 à taxa
de juros compostos de 2% a.m. e pelo prazo de 10 meses?
Dados:
VP = 1.000
i = 2% a .m.
n = 10 meses
Solução:
J = VP[(1+i)n-1]
J = 1000[(1+0,02)-1] = $ 218,99
Situação problema
3.
No final de dois anos, devo efetuar um pagamento de $
200.000,00 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, sabendo que a
taxa acordada foi de 4% ao mês com capitalização mensal, pergunta-se: Qual o
valor emprestado?
Dados:
VF = 200.000,00
n = 2 anos = 24 meses
¡ = 4% ao mês = 0,04
VP = ?
Solução:
VP = VF / (1+i)n
Substituindo os termos temos:
VP = 200000 / (1+0,04)24 = $ 78.024,29
Situação problema
4.
Uma determinada loja financia a venda de uma mercadoria no
valor de $ 1.299,99, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de $ 2.151,48
no final de 8 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?
Dados:
VF = 2.151,48
VP = 1.299,99
n = 8
meses
i =?
Solução:
Isolando a taxa ( i ) na equação VP = VF / (1+i)n,
temos i = (VF/VP)1/n – 1
Substituindo os termos temos:
i = (2151,48 /1299,99)1/8
– 1 = 0,065 => 6,5% ao mês
Situação problema
5.
Em que prazo um empréstimo de $ 20.000,00 pode ser quitado
em um único pagamento de $ 41.578,56, sabendo-se que a taxa contratada é de 5%
ao mês?
Dados:
VF = 41.578,56
VP = 20.000,00
¡ = 5% ao
mês = 0,05
n =?
Solução:
Isolando-se o prazo ( n ) na equação VP = VF / (1+i)n, chegamos que n
= log(VF/VP) / log(1 + i)
Substituindo os termos temos:
n = log(41578,56/20000)/log(1+0,05)
= 15
meses, pois a taxa está em mês.
6.
Um título de renda fixa deverá ser resgatado por $ 10.000,00
no seu vencimento, que ocorrerá dentro de três meses. Sabendo-se que o
rendimento desse título é de 15% ao ano, determinar o seu valor presente.
Dados:
VF =
10.000,00
n = 3
meses
¡ = 15% ao
ano
VP = ?
Neste caso
o período está em meses e a taxa em ano, na capitalização
composta à taxa não pode ser dividida para se adequar ao período, para adequar
a taxa ao período temos que fazer equivalência de taxa, ou adequar o período a
taxa.
VEJA EQUIVALÊNCIA DE TAXA NO MENU AO LADO.