Matemática Financeira
Definição de Taxa de Juros
Uma taxa de juros, ou
taxa de crescimento do capital, é a taxa de lucratividade recebida num
investimento. De uma forma geral, é apresentada em bases anuais, podendo também
ser utilizada em bases semestrais, trimestrais, mensais ou diárias, e
representa o percentual de ganho realizado na aplicação do capital em algum
empreendimento.
Por exemplo, uma taxa de
juros de 20% ao ano indica que para cada unidade monetária aplicada, um
adicional de R$ 0,20 deve ser retornado após um ano, como remuneração pelo uso daquele
capital.
A taxa de juros,
simbolicamente representada pela letra i, pode ser também apresentada
sob a forma unitária, ou seja, 0,20, que significa que para cada unidade de
capital são pagos doze centésimos de unidades de juros. Esta é a forma
utilizada em todas as expressões de cálculo.
A taxa de juros também
pode ser definida como a razão entre os juros, cobrável ou pagável, no fim de
um período de tempo e o dinheiro devido no início do período. Usualmente,
utiliza-se o conceito de taxa de juros quando se paga por um empréstimo, e taxa
de retorno quando se recebe pelo capital emprestado.
Portanto, pode-se
definir o juro como o preço pago pela utilização temporária do capital alheio,
ou seja, é o aluguel pago pela obtenção de um dinheiro emprestado ou, mais
amplamente, é o retorno obtido pelo investimento produtivo do capital.
Genericamente, todas as
formas de remuneração do capital, sejam elas lucros, dividendos ou quaisquer
outras, podem ser considerados como um juro.
Quando uma Instituição Financeira
decide emprestar dinheiro, existe, obviamente, uma expectativa de retorno do
capital emprestado acrescido de uma parcela de juro. Além disso, deve-se
considerar embutido na taxa de juros os seguintes fatores:
Risco - grau de incerteza de pagamento da dívida, de acordo, por exemplo, com
os antecedentes do cliente e sua saúde financeira;
Custos Administrativos - custos correspondentes aos
levantamentos cadastrais, pessoal, administração e outros;
Lucro - parte compensatória pela não aplicação do capital em outras
oportunidades do mercado, podendo, ainda, ser definido como o ganho líquido
efetivo;
Expectativas
Inflacionárias - em economias estáveis, com inflação anual baixa, é a parte que atua
como proteção para as possíveis perdas do poder aquisitivo da moeda.
O Valor do Dinheiro no Tempo
O conceito do valor do
dinheiro no tempo surge da relação entre juro e tempo, porque o dinheiro pode
ser remunerado por certa taxa de juros num investimento, por um período de
tempo, sendo importante o reconhecimento de que uma unidade monetária recebida
no futuro não tem o mesmo valor que uma unidade monetária disponível no
presente.
Para que este conceito
possa ser compreendido, torna-se necessário a eliminação da idéia de inflação.
Para isso, supõe-se que a inflação tecnicamente atinge todos os preços da mesma
forma, sendo, portanto, anulada no período considerado.
Assim, um dólar hoje
vale mais que um dólar amanhã. Analogamente, um real hoje tem mais valor
do que um real no futuro, independentemente da inflação apurada no período.
Esta assertiva decorre
de existir no presente a oportunidade de investimento deste dólar ou real pelo
prazo de, por exemplo, 2 anos, que renderá ao final deste período um juro,
tendo, conseqüentemente, maior valor que este mesmo dólar ou real recebido
daqui a 2 anos.
Conclui-se, pelo fato do
dinheiro ter um valor no tempo, que a mesma quantia em real ou dólares, em
diferentes épocas, tem outro valor, tão maior quanto à taxa de juros exceda zero.
Por outro lado, pode-se dizer que este dinheiro varia no tempo em razão do
poder de compra de um real ou dólar ao longo dos anos, dependendo da inflação
da economia, como será visto adiante.
Diagrama dos Fluxos de Caixa
Para identificação e
melhor visualização dos efeitos financeiros das alternativas de investimento,
ou seja, das entradas e saídas de caixa, pode-se utilizar uma representação
gráfica denominada Diagrama dos Fluxos de Caixa.
Este diagrama é traçado
a partir de um eixo horizontal que indica a escala dos períodos de tempo. O
número de períodos considerado no diagrama é definido como o horizonte de
planejamento correspondente à alternativa analisada. Cabe ressaltar que é
muito importante a identificação do ponto de vista que está sendo traçado o
diagrama de fluxos de caixa. Um diagrama sob a ótica de uma Instituição Financeira
que concede um empréstimo, por exemplo, é diferente do diagrama sob a ótica do
indivíduo beneficiado por tal transação.
A figura abaixo mostra
um exemplo de um diagrama genérico de um fluxo de caixa.
Convencionou-se que os
vetores orientados para cima representam os valores positivos de caixa, ou
seja, os benefícios, recebimentos ou receitas. Já os vetores orientados para
baixo indicam os valores negativos, ou seja, os custos, desembolsos ou
despesas.
R$ 5.500
R$ 5.000 R$ 4.500 R$ 4.000 R$ 2.000 R$
4.000
0 1 2
3
... (n-1)
n
Figura - Representação de um Diagrama de Fluxo de Caixa
No presente trabalho
será adotada a notação definida abaixo, em todos os diagramas de fluxo de caixa
estudados:
i - taxa de juros para determinado
período, expressa em percentagem e utilizada nos cálculos na forma unitária.
Ex.:
rendimento de dez por cento ao ano i = 0,10 ou 10 % a.a.
n - número de períodos de capitalização.
Ex.:
aplicação de um capital por 5 meses n = 5
VP - valor equivalente ao momento
presente, denominado de Principal, Valor Presente ou Valor Atual. Na HP-
Ex.:
aplicação de R$ 10.000 efetuada hoje; VP = 10.000,00.
J - juros produzidos ou pagos numa operação financeira.
Ex.:
um capital de R$ 5.000 rendeu R$ 300 ao final de 1 ano; J = 300,00.
VF - valor situado num momento futuro em
relação à P, ou seja, daqui a n períodos, a uma taxa de juros i,
denominado Montante ou Valor Futuro. Na HP-
Ex.: uma aplicação de R$ 15.000,
feita hoje, corresponderá a R$ 19.000 daqui a n períodos, a uma taxa de juros
i; VF = 19.000.
R - valor de cada parcela periódica de
uma série uniforme, podendo ser parcelas anuais, trimestrais, mensais etc. Na
HP-
Ex.: R$ 5.000 aplicados mensalmente
numa caderneta de poupança produzirão um montante de R$ 34.000 ao fim de n
meses; R = 5.000
A notação para os
elementos da Matemática
Financeira
varia para cada autor. Desta forma, não é recomendável a memorização de uma só
notação nem sua adoção como padrão. Recomenda-se o aprendizado dos conceitos
fundamentais da Matemática Financeira, independentemente da notação utilizada, de modo
que qualquer problema possa ser resolvido.
Por convenção, todas as
movimentações financeiras, representadas em cada período dos diagramas de fluxo
de caixa, estão ocorrendo no final do período. Por exemplo, um pagamento
efetuado no segundo ano de um diagrama de fluxo de caixa significa que esta
saída de dinheiro ocorreu no final do ano 2.
Tipos de Formação de
Juros
Os juros são formados
através do processo denominado regime de capitalização, que pode ocorrer de
modo simples ou composto. Veja menu ao lado.